第213章 没有被标准答案污染过
PDF的第一页干净利落。
标题：【四维紧致欧几里得流形上SU(N)规范场手征反常的一个完整推导】
然后开篇直接引理开场。
“引理1：设D为作用在四维紧致欧几里得流形M上的SU(N)规范场耦合Dirac算子，则其本征函数系{φn}构成作用在Dirac旋量丛截面上的一组完备正交基。”
周启峰默默点了一下头。
规范，没毛病。
他把费米子场按Dirac算子的本征函数系一个一个展开，然后盯著测度在手征变换下的变化去推雅可比行列式。
这个思路本身并不新鲜。
但周启峰注意到的是……
李东在写到“此和式发散，需作正则化”的时候，他用的是热核方法做高斯截断。
A(x)=lim(M→∞)tr[γ5e^(-D2\/M2)]
这一步，他处理得相当老练。
然后他直接把D2的热核展开搬了出来，非常干净利落地告诉你。
由于tr(γ5)在维度不够高的时候直接为零，所以只有a2(x)这一项才能留下来。
整个求迹的过程一点都不黏糊，连中间几步很容易绕晕的符号问题都处理得相当干净。
最后直接推出了：
?_μj_5^μ=[g2\/(16π2)]tr(F_μνF^μν)
周启峰盯著这页整整看了两分钟，然后轻轻地“嗯”了一声。
“这小子的热核正则化处理，比我想象中干净得多。”
他甚至发现……
李东在热核展开的时候，用的那个中间换元技巧，跟自己当年在普林斯顿做博士后时跟一位老教授学的那一手有点相似。
但又不完全一样。
李东的那一手，更直接，也更……自然。
像是一个完全没受过传统教材污染的人，自己从头把这条路走了一遍。
“有点意思。”
周启峰继续往下翻。
第二问是整道题里最吓人的那一问。
它要求把手征反常的积分和Atiyah-Singer指标定理给挂上钩。
指标定理这玩意儿，是二十世纪数学界最深刻的成就之一。
你要用得顺手，首先得懂纤维丛，懂陈-韦伊同态，懂示性类，懂椭圆算子的谱理论。
每一个都是研究生得啃一两年的东西。
周启峰以为李东会老老实实地沿著教科书上的标准套路，先写陈-韦伊，再写陈特征，再把Agenus一个一个算出来，最后对齐到指标公式上去。
结果他翻开第二问的第一页，就愣住了。
李东并没有这么做。
而是上来就构造了一组和规范丛主联络相适配的“截断流”，然后把热核展开的那一套，从第一问一路延伸到了拓扑一侧。
然后把第一问里推出来的那个tr(F∧F)拉回到了热核里，沿著热核随时间的演化行为，一步一步地把拓扑不变量从分析侧反推了出来。
整个过程没有提一次“陈-韦伊同态”这六个字。
但是他用的每一步，其实都在悄悄地复刻陈-韦伊同态的精神。
周启峰看到这一步的时候只感觉憋的慌，原来他刚才忘了呼吸了。
不是因为有多惊艳。
而是他突然意识到……
这小子不是在做这道题。
他是在“重新发现”这道题背后的结构。
换句话说，他可能根本就没系统学过指标定理的标准证明，所以他压根不知道教科书上是怎么处理这一步的。
他只能靠著手里现成的工具，从头把这条路自己走出来。
结果呢……
他走出来的这条路，比教科书上的那条路要短。
周启峰在心里默默地把李东和自己的那条思路做了个对比。
自己的是：纤维丛、联络、陈类……，一层一层搭上去，稳是稳，但复杂得让人头皮发麻。
说人话就是比较蠢萌蠢萌的……
而李东这边呢……
从热核出发，一路顺水推舟，直接从分析侧滑到了拓扑侧，中间只用了两个辅助引理。
哪一条更漂亮？
周启峰是一个搞学术的人，他不会因为自己熟悉哪一条就说哪一条漂亮。
他会老老实实地承认，李东的这条路更漂亮，也更有灵性。
“这思路很不错……”
他下意识的想摸一支新的烟，但伸到一半又停住了。
他不想在看这份稿子的时候分神。
于是他继续往下翻。
……
第三问是他自己的主场。
重整化。
量子场论里这一块的水有多深，他比谁都清楚。
要把Adler-Bardeen定理讲明白，也就要说清楚“为什么手征反常的系数在所有微扰阶都精确成立”。\
/p
你不但要对单圈精确这个结论本身有感觉，你还得能从重整化群流的结构上给出一个让人信服的论证。
这是一道既考数学、又考物理直觉、还考对整个量子场论框架全局理解的题。
周启峰原本以为李东如果真能把前两问写完，第三问大概率也会写得比较虚。
无非就是从一些教材里摘一点对话式的论述，然后加一些因此可以看到、显然之类的万金油词。
结果……
他上来就写了一句话：
“反常的本质，是路径积分测度在手征变换下产生的非平凡雅可比行列式，它的来源是几何的，而非动力学的。”
然后他从这句话出发，做了一个看起来非常大胆的切入……
他把反常系数的来源从动力学层面彻底剥离，挪到了测度的几何层面。
他接下来做的所有推导，都是围绕这一句话展开的。
既然反常系数是几何的产物，那它就必然和那个被指标定理保护住的整数拓扑不变量捆绑在一起。
而整数拓扑不变量是在连续形变下不能被改变的。
那么……
任何微扰修正，只要它是连续的，就不可能去改动这个整数。
所以反常系数必然是单圈精确的。
周启峰看到这里的时候，他整整沉默了五分钟。
这个切入角度，他见过。
但但凡用这个切入角度的人，一般都是那种在量子场论这条路上浸淫了十几二十年的老手。
这种人是因为见得多了，才会把动力学这一面和几何这一面看穿，才会知道反常这东西，根本就不在动力学那一侧。
可李东是一个大一的本科生。
他前一阵子还在数学圈里乱杀。
他怎么可能对量子场论的这一层几何直觉有这么精准的把握？
周启峰一时间甚至产生了一种很荒谬的感觉……
这不像是一个十九岁的本科生的思路。
反而更像是一个在量子场论领域拔尖的老教授的想法。
周启峰深吸了一口气。
他自己能不能想到这个思路？
他承认，如果给他足够的时间，他大概能想到其中的一条。
但是让他在三天之内把这三条思路全部打通、全部写成一份干净的十七页推导稿？
绝对不可能。
不是他做不了，是他压根就不会朝这个方向去想。
周启峰呆呆地坐在椅子上……
书房外，他的小女儿在客厅里喊了一声：“爸，吃饭啦！”
他下意识地回了一句：“你们先吃，我等会儿。”