第235章 李氏猜想
这个Conjecture。
像是一个人走到悬崖边上，既没带绳子，也没带扣环，就这么往空中一指……
说这儿能过去。
一时间，朗兰兹竟然有些晃神。
他这辈子看过无数的Conjecture。
有些Conjecture是漂亮的，需要你眯著眼，把里面那点巧妙的结构看出来。
有些Conjecture是笨的，直接拿证据堆出来的，看一眼就知道它想说什么。
但像眼前这一个……
他是第一次见。
刚刚那七十六页，是李东给它打下的地基。
而这张A4纸上的几行字。
让他隐隐约约看到了一栋大厦。
这座大厦很高很大。
他只能仰望。
看不清轮廓。
“几乎处处相等吗……”
朗兰兹的嘴里像在叨念著这几个字。
几乎处处相等。
实分析里最朴素不过的四个字。
可是这四个字落在这儿，分量却是很重。
对关联函数，承载的是零点的统计信息。
而零点的统计信息，是自守L函数最深的、最后才被人看到的那一面。
两个欧拉乘积不一样的自守L函数，零点集合会几乎处处重合？
朗兰兹的第一反应是……
不可能。
可他没急著把这张纸放下。
他又看了看手中的A4纸。
弗兰克就坐在对面。
没有说话。
只是把第五杯咖啡，轻轻放到了老人的手边。
朗兰兹下意识地伸手去摸桌上的钢笔。
他想试一试。
这种东西，就是一个Conjecture，是不是还能做一些很小的验证啊？
朗兰兹说不准。
但他总归要伸手碰一碰，才知道它是一碰就破，还是一碰就立。
他抽过一张白纸，把钢笔的套一拧开。
最先写下的，是一个所有人都熟得不能再熟的情形。
循环基变换。
GL(2)在一个循环扩张E\/F下的基变换，这是1989年他自己的学生亚瑟和克洛泽尔就已经干完的事情。
π是GL(2，A_F)的一个尖点自守表示。
E\/F是循环扩张，伽罗瓦群由一个特征χ生成。
π的基变换π_E的L函数，可以写成π被χ的各次方扭后的L函数的乘积。
L(s，π_E)=∏L(s，π?χ^k)
朗兰兹的笔在“∏”这个符号上停了一下。
他要验证的是充要条件里的必要那一半。
在这个已经被证明的特例里，李东那张纸上的结论应该是自洽的……
π_E既然是π的转移，那它们的对关联函数就应该几乎处处相等。
老人很慢地在纸上算。
L(s，π_E)的零点集，是那几个L(s，π?χ^k)零点集的并。
π_E的对关联函数F_{π_E}(a)，形式上应该分成两部分。
一部分，是每一个L(s，π?χ^k)自身零点内部的对相关。
这些跟F_π(a)形状是一样的，因为扭乘不改变GUE普适性。
另一部分，是不同的L(s，π?χ^k)的零点彼此交叉的相关项。
朗兰兹的笔停住了。
这个交叉项。
按李东的判据，它在[0，4\/n]区间里应该消散成……
他慢慢地往后算。
算到一半。
他眉头轻轻皱了一下。
弗兰克看著他那皱起来的眉毛。
心也跟著提了起来。
又过了几分钟。
朗兰兹那紧皱著的眉头，才慢慢地松开。
交叉项里，那个本来让他觉得不对劲的地方，在李东那个e_v≤n的分歧指数限制下，会被狠狠地压下去。
压到几乎处处为零。
朗兰兹轻轻“嗯”了一声。
必要方向的这一半，在循环基变换这个特例上，是立得住的。
但这还不够。
因为必要方向太容易了。
函子性一旦成立，L函数相等，零点就相等，对关联函数自然也相等。
真正让他想伸手碰一碰的，是反过来的那一半。
两个尖点自守表示，只要它们的对关联函数几乎处处相等，就一定由函子性关联起来？
朗兰兹拿起了一张纸。
他打算找一个反例。
一个一碰就能把这个猜想戳穿的反例。
他第一个想到的，是两个伽罗瓦共轭的自守表示。
它们的L函数乍看之下很像，但它们之间的转移并不属于朗兰兹函子性里任何一个L-同态。
朗兰兹笑了一下。
他觉得
自己这下，一伸手就能把这个看似完美的猜想戳破。
他低下头，笔在纸上飞快的写著，把两个表示的对关联函数一步步拆解、计算。
前后不到十分钟。
老人手里的笔，轻轻落在了纸上。
结果完全出乎他的意料。
这对看似天衣无缝的共轭表示，在李东的零点判据下，它们的对关联函数根本做不到“几乎处处相等”。
在一个极窄却关键的区间里，两组数值会彻底分开，差异清晰到根本无法忽略。
它连猜想的核心前提都满足不了，根本没资格当反例。
朗兰兹又换了一张白纸。
他试了第二个业内最刁钻的漏洞武器：CAP表示。
这东西是个彻头彻尾的伪装者。
它长得和符合要求的尖点自守表示几乎一模一样，很容易混进前提条件里，但它本质上是从更小的群上残余下来的“伪尖点”，天生就不符合朗兰兹函子性的要求。
无数同行的工作，都因为没防住这个伪装者，最后功亏一篑。
可这一次，笔还没写几行，朗兰兹就停住了。
他甚至不用完整算完，就已经在心里得出了结果。
李东的猜想，在进门的第一步就设了一道铁闸。
“两者均满足自守表示局部-整体相容性的零点判据”。
这个伪装者，连这第一道安检都过不了，直接被拦在了门外，连碰一碰猜想核心结论的资格都没有。
弗兰克就坐在对面，安静地看著这一切。
其实他自己，早在四天前就已经对著这张A4纸，干过同样的事情。
他当时挑了几个自己最熟的情形，想把这个Conjecture戳破。
结果戳了整整一个下午。
戳完以后，他坐在办公室里，望著窗外发呆了整整半个小时。
然后他才下决心，买了普林斯顿的机票。
此时朗兰兹又换了一张纸。
这一回，他试的是一个更刁钻的情形……
在非平凡L-同态下，两个表示在绝大多数局部位上局部匹配，唯独在有限个坏位上出问题的情形。
这种东西，在传统的迹公式方法里是最麻烦的。
但李东这个Conjecture不走迹公式。
它走的是零点对关联。
零点对关联是整体的东西，不看某一个坏位。
朗兰兹看著手上算出来的那几行。
半晌没动。
最后他放下笔。
“了不起。”
老人低声说。
“真的了不起啊。”
他抬起头，看向弗兰克。
“弗兰克。”
“我这边，没有任何问题。”
弗兰克整个人僵了一下。
他其实早有预感。
但是从朗兰兹本人嘴里听到这句话，还是不一样。
那意味著。
这个Conjecture，至少在他这个层面上，一碰没破，反而立住了。
以后这个Conjecture，可以叫做“李氏猜想”了。
弗兰克默默地点了点头，站了起来。
他看了一眼桌上那杯又凉了的咖啡，又看了一眼墙上那口老钟。
从上午进门到现在，老爷子几乎没怎么站起来过。
光是论文就看了四个小时。
后面这张A4纸，又在纸上算了大半个小时。
弗兰克很想继续和他聊。
聊这张A4纸，聊这整篇论文，聊李东这个年轻人。
但他不能再聊了。
朗兰兹这把身子，可扛不住这么长时间的工作。
“教授。”
弗兰克压低了声音。
“那我就不打扰您休息了。”
朗兰兹点了点头。
“论文我先收著。”
“评语我过几天再写过去。”
“好。”
弗兰克弯了弯腰，拎起公文包，快步的离开。
他知道自己接下来得马上回芝加哥。
论文要正式进《数学年刊》的同行评审流程，除了朗兰兹，其他几位能看这个方向的外审，也得尽早发函。
一位在IHES，一位在MIT，还有一位在牛津。